Giresun'un Şebinkarahisar ilçesinde 1954 yılında doğan Şükrü Genç, eğitim hayatına İstanbul’da başladı. İlkokulu Şair Nigar İlkokulu'nda, ortaokulu Emirgan Ortaokulu'nda, liseyi ise Kabataş Erkek Lisesi'nde tamamladı. Daha sonra İstanbul Teknik Üniversitesi İnşaat Fakültesi'nden mezun oldu.
Mezuniyetinin ardından Libya'da iki yıl çalıştı, ardından Irak’ta şantiye şefliği ve proje müdürlüğü yaptı. 1987 yılında Türkiye'ye dönen Genç, özel sektörde yönetici olarak çalıştıktan sonra 1989'da kendi şirketini kurarak sanayi binaları ve çeşitli inşaat projeleri gerçekleştirdi.
Siyasete 1988 yılında CHP ile adım atan Şükrü Genç, parti içinde çeşitli görevlerde bulundu. 1994-1999 yılları arasında Sarıyer Belediyesi Meclis Üyesi olarak görev aldı. 2009 yerel seçimlerinde Sarıyer Belediye Başkanı seçilen Genç, 2014'te yeniden seçilerek Sarıyer'de iki dönem üst üste seçilen ilk belediye başkanı oldu.
Evli ve üç çocuk babası olan Şükrü Genç'in dört torunu bulunmaktadır.
